Integrate series part 3: BY PART

การ integrate by part เป็นวิธีที่ใช้เวลามี 2 expression มาคูณกัน ส่วนใหญ่ expression จะเป็นระหว่างประเภทต่อไปนี้

Logarithmic (ln, log)

Inverse Trigon (inverse ของ sin cos tan)

Algebraic(2x^2 เป็นต้น)

Trigonometric (sin cos tan)

Exponential (e^x, 4^2x)

วิธีนี้เป็นวิธีที่คนได้ยินแล้วถอนหายใจมากที่สุดเพราะ

1. มีสูตรที่ต้องจำ

2. ทำยาววว

3. ไม่รู้จะแทนตัวไหนในสูตร

เพราะงั้นถ้าแก้ทั้ง 3 ข้อนี้ได้ by part ก็ง่ายนิดเดียว

สูตร ∫u dv = uv - ∫v du

- ท่องครับ จำสูตรไม่ได้เท่ากับจบ

วิธีทำ

1. กำหนด u และ dv

ดูตาม list ข้างบนแล้วดูว่า

อันไหนมาก่อนให้เป็น u อันหลังเป็น dv

เช่น ∫x^2(e^2x) dx ในที่นี้ x^2 เป็น algebraic มาก่อน e^2x ซึ่งเป็น exponential

เพราะฉะนั้น x^2 เป็น u, e^2x dx เป็น dv

2. หา du และ v

du = diff(x^2) = 2x dx

v = ∫dv = ∫e^2x dx = 0.5e^2x

3. แทนทั้ง 3 ตัวลงในสูตร

(x^2)(0.5e^2x) - ∫(0.5e^2x)2x dx

ในที่นี้ integral ข้างหลังยังต้องทำ by part อีก

รอบเพราะ integrate แบบธรรมดาไม่ได้

**คำตอบสุดท้ายอย่าลืม + C

อีกหนึ่งตัวอย่าง

∫ln(x^2) dx

∫u dv = uv - ∫v du

1. u = ln(x^2) ***ln(x^2) ถือเป็นหนึ่ง expressionนะ !

dv = dx

2. du = diff(ln(x^2)) = 2x/(x^2) = 2/x dx***chain rule ลืมรึยัง

v = ∫ dx = x

3.ln(x^2)x - ∫ x(2/x) dx

= xln(x^2) - 2x +C

สูตรลัด!!

ใช้ได้กับเฉพาะกรณีที่ต้องทำ by part หลายๆรอบเช่น ข้อแรก

ตัวอย่าง ∫(x^3+2x)e^2x dx

1. วาดตารางขึ้นมา

ให้ u อยู่ฝั่งซ้าย diff แล้วเขียนบรรทัดล่างลงมาเรื่อยๆจนเป็น 0 *** ถ้าไม่เป็น 0 แสดงว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้

ให้ dv อยู่ฝั่งขวา integrate เรื่อยจนถึงบรรทัดที่ข้างซ้ายเป็น 0

2. วาดลูกศรเหมือนรูปข้างล่าง

3. ลูกศรแต่ละอันให้เขียนกำกับบวกลบสลับกัน

4. หัวกับท้ายลูกศร เอามาคูณกัน เครื่องหมายบนลูกศรคือ เครื่องหมายที่ใช้ทำกับตัวต่อไป

แค่นี้ integrate by part ก็ไม่ยากอีกต่อไป !!!