Integrate series part 2: SUB U

ทำไมต้อง sub u ? sub u มีไว้เพื่อเวลา expression ที่จะ integrate ไม่ตรงกับสูตร basic เช่น

sin(2x) , sqrt(x+5) , (ln x)/x เป็นต้น

sub u ทำยังไง

1. ∫2xsin(x^2) dx

-ให้ u = x^2

-du (diff u)= 2x dx (diff x^2)

-dx=du/2x

2. แทน x และ dx ด้วย u และ du ได้ ∫2xsin(u) (du/2x) = ∫sin(u) du

3. integrate ธรรมดาตามสูตรจะได้ -cos(u)+C

4. แทน u กลับด้วย x ได้ -cos(x^2)+C

sub ตัวไหนเป็น u ?

1. หาตัวที่ dif ออกมาแล้วอยู่ในสูตรเช่น

sqrt(x+5) dx

(1/x)ln(x) dx

cos(x)sin(x) dx

x(x^2-1)^3 dx

สังเกตว่าถ้า diff ตัวสีแดงจะได้ตัวสีฟ้าและถ้าแทนแดงด้วย u ฟ้าจะเป็น du หมด

2. ในกรณีที่ diff ออกมาแล้วไม่ตรงเช่น x(x^2-1)^3 dx เพราะ dif (x^2-1) ได้ 2x ไม่ใช่ x

เราสามารถคูณทำงี้ได้

0.5∫2x(x^2-1)^3 dx

คือคูณเลขที่ต้องการเข้าไปแล้วหารออกข้างหน้าเครื่องหมาย ∫

3. อย่าลืม! ว่า dif บางทีต้องใช้ chain rule ด้วยเช่น

∫cos(2x)sin(2x) dx

dif sin(2x) ได้ 2cos(2x) เพราะงั้นต้องทำตาม ข้อ 2 ด้วย

u=sin(2x)

du = 2cos(2x) dx

0.5∫u du

0.25u^2 = 0.25(sin2x)^2 +C

*** สูตรลัด

สังเกตได้ว่าหากในวงเล็บของ sin cos และ polynomial function เช่น (..x+...)^(..) เป็น x กำลังหนึ่งเช่น

sin(0.25x), cos(3x), (2x+1)^0.5 สามารถ integrate เหมือนธรรมดาแล้วหารผลลัพด้วยเลข coefficient ของ x

∫sin(0.25x) dx ได้ -1/0.25 (cos(0.25x))+C

∫cos(3x) dx ได้ 1/3 (sin(3x))+C

∫(2x+1)^0.5 dx ได้ 1/2 (2/3)(2x+1)^(3/2) +C

∫e^(4x) dx ได้ 1/4 e^(4x) +C

ย้ำว่า x เป็นกำลังหนึ่งถึงทำวิธีนี้ได้เท่านั้น

ถูกชัว รับประกันความถูกโดย พี่แชมป์ A Calculus1 555+