Integrate series part 6: Partial Fractions

บทนี้จะเกี่ยวกับเวลาที่ expression ที่จะ integrate เป็นเศษส่วนที่ข้างล่างมีกำลังมากกว่าเช่น

(2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

วิธีนั้นง่ายนิดเดียว โดยมีขั้นตอนที่เรียกว่า partial fraction decomposition

เป้าหมายคือแตกเศษส่วนให้เป็นหลายๆชิ้นเพื่อให้ integrate ได้ง่าย

step 1: factor ส่วนข้างล่างให้ได้มากที่สุด

x^3-x^2 = x^2(x-1)

step 2: แยกแต่ละ factor ออกโดยถ้าเป็นกำลังหนึ่งให้ใส่ข้างบนเป็น A,B,C ถ้าเป็น กำลังสองให้เป็น Ax+B, Cx+D

เป้าหมายคือต้องการจะหาค่าคงที่ A B C D

ในที่นี้ก็จะเป็น

(Ax+B)/x^2 + C/(x-1)

step 3: เทียบสมการตั้งต้น

(Ax+B)/x^2 + C/(x-1) = (2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

step 4: คูณไขว้ให้ส่วนด้านตั้งต้นหายไป

(x^3-x^2)(Ax+B)/x^2 + (x^3-x^2) C/(x-1) = (x^3-x^2)(2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

ตัดเศษส่วนออกก็จะเหลือ

(Ax+B)(x-1) + (x^2)C = 2x^2-2x-1

step 5: แทนค่า x เป็นอะไรก็ได้ออกมาตามจำนวนค่าคงที่ (3 ค่า เพราะมี A B และ C) แล้ว solve equations simultaneously แต่ถ้าแทนให้ solve ค่า A B C ออกมาได้เลยก็ไม่ต้องมา solve equations เช่น

ถ้าแทน x = 0 ก็จะเหลือ

-B = -1

B = 1

แทน x = 1

C = 2-2-1

C= -1

แทน x = 2 โดย แทนค่า B และ C ที่หาได้ด้วย

(2A+1)(2-1) + 4(-1) = 8-4-1

2A-3=3

A = 3

step 6: แทนค่าคงที่ทั้งหมดในสมการ

(3x+1)/x^2 + -1/(x-1)

step สุดท้าย: integrate

∫3/x + 1/x^2 - 1/(x-1) dx

3ln|x| - x^(-1) - ln|x-1| +C

ง่ายมากมายคับพี่น้อง ข้อนี้ถ้าออกสอบควรอย่างยิ่งแก่การทำก่อนเพื่อเก็บคะแนน