Integrate series part 5: TRIGONOMETRIC INTEGRAL (cont'd)

part นี้จะเป็นเหมือนบทที่แล้วแต่เปลี่ยนจาก sin cos เป็น tan sec

หลักก็ยังคงใช้ sub u เหมือนเดิม

สุตร: (secx)^2=(tanx)^2 + 1

∫tanx = ln|secx|+C

∫secx = ln|secx+tanx| +C

∫(tanx)^m (secx)^n dx

ในกรณีที่ m เป็นเลขคี่ให้เปลี่ยน tan เป็น sec โดย tan ตัวสุดท้ายคูณ sec ไว้ sub u

ในกรณีที่ n เป็นเลขคู่ให้เปลี่ยน sec เป็น tan โดยเหลือไว้หนึ่ง sec^2 เพื่อไว้ sub u

ในกรณีที่ไม่ตรงกับ condition ข้างบนให้เปลี่ยนยังไงก็ได้ให้ใช้สูตร integrateได้

∫(tanx)^4 dx = ∫(tanx)^2(tanx)^2

ข้อนี้ไม่ตรงกับ condition ใดเลยเลยต้องเปลี่ยน tan เพื่อให้ใช้สูตร integrate ได้

=∫(tanx)^2((secx)^2-1)dx

=∫(tanx)^2(secx)^2 - (tanx)^2 dx

ก้อนหน้าตรงกับ condition แรกเพราะกำลัง sec เป็นคู่ ก้อนหลังไม่ตรงต้องเปลี่ยนอีกรอบ

=∫(tanx)^2(secx)^2 - ((secx)^2-1) dx

sub u ให้ tanx เป็น u ข้างหลัง integrate

=∫u^2 du - ∫(secx)^2 -1 dx

=(u^3)/3 - tanx + x +C

=(tanx)^3/3 - tanx + x +C

อีกตัวอย่าง

∫tanx(secx)^1.5 dx

ข้อนี้ถึงแม้ว่าจะตรงกับ condition แรกแต่ไม่สามารถเปลี่ยนได้เพราะ tan เป็นกำลังหนึ่งเท่านั้น ถ้าดูให้ดีข้อนี้ง่ายมากแค่ sub u โดย u เป็น secx^0.5 ก็ได้ละ

คำตอบ 2/3(secx)^1.5 +C

หลักก็คือว่าเหมือน sub u ทั่วไปคือต้องดูให้ออกว่าเปลี่ยนตัวไหนแล้วเหลือตัวไหนไว้จะได้เป็น du ได้เปล่า

ถ้าดูออกสูตรก็ไม่ต้องจำแล้วว