Integrate series part 6: Partial Fractions

บทนี้จะเกี่ยวกับเวลาที่ expression ที่จะ integrate เป็นเศษส่วนที่ข้างล่างมีกำลังมากกว่าเช่น

(2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

วิธีนั้นง่ายนิดเดียว โดยมีขั้นตอนที่เรียกว่า partial fraction decomposition

เป้าหมายคือแตกเศษส่วนให้เป็นหลายๆชิ้นเพื่อให้ integrate ได้ง่าย

step 1: factor ส่วนข้างล่างให้ได้มากที่สุด

x^3-x^2 = x^2(x-1)

step 2: แยกแต่ละ factor ออกโดยถ้าเป็นกำลังหนึ่งให้ใส่ข้างบนเป็น A,B,C ถ้าเป็น กำลังสองให้เป็น Ax+B, Cx+D

เป้าหมายคือต้องการจะหาค่าคงที่ A B C D

ในที่นี้ก็จะเป็น

(Ax+B)/x^2 + C/(x-1)

step 3: เทียบสมการตั้งต้น

(Ax+B)/x^2 + C/(x-1) = (2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

step 4: คูณไขว้ให้ส่วนด้านตั้งต้นหายไป

(x^3-x^2)(Ax+B)/x^2 + (x^3-x^2) C/(x-1) = (x^3-x^2)(2x^2-2x-1)/(x^3-x^2)

ตัดเศษส่วนออกก็จะเหลือ

(Ax+B)(x-1) + (x^2)C = 2x^2-2x-1

step 5: แทนค่า x เป็นอะไรก็ได้ออกมาตามจำนวนค่าคงที่ (3 ค่า เพราะมี A B และ C) แล้ว solve equations simultaneously แต่ถ้าแทนให้ solve ค่า A B C ออกมาได้เลยก็ไม่ต้องมา solve equations เช่น

ถ้าแทน x = 0 ก็จะเหลือ

-B = -1

B = 1

แทน x = 1

C = 2-2-1

C= -1

แทน x = 2 โดย แทนค่า B และ C ที่หาได้ด้วย

(2A+1)(2-1) + 4(-1) = 8-4-1

2A-3=3

A = 3

step 6: แทนค่าคงที่ทั้งหมดในสมการ

(3x+1)/x^2 + -1/(x-1)

step สุดท้าย: integrate

∫3/x + 1/x^2 - 1/(x-1) dx

3ln|x| - x^(-1) - ln|x-1| +C

ง่ายมากมายคับพี่น้อง ข้อนี้ถ้าออกสอบควรอย่างยิ่งแก่การทำก่อนเพื่อเก็บคะแนน

Integrate series part 5: TRIGONOMETRIC INTEGRAL (cont'd)

part นี้จะเป็นเหมือนบทที่แล้วแต่เปลี่ยนจาก sin cos เป็น tan sec

หลักก็ยังคงใช้ sub u เหมือนเดิม

สุตร: (secx)^2=(tanx)^2 + 1

∫tanx = ln|secx|+C

∫secx = ln|secx+tanx| +C

∫(tanx)^m (secx)^n dx

ในกรณีที่ m เป็นเลขคี่ให้เปลี่ยน tan เป็น sec โดย tan ตัวสุดท้ายคูณ sec ไว้ sub u

ในกรณีที่ n เป็นเลขคู่ให้เปลี่ยน sec เป็น tan โดยเหลือไว้หนึ่ง sec^2 เพื่อไว้ sub u

ในกรณีที่ไม่ตรงกับ condition ข้างบนให้เปลี่ยนยังไงก็ได้ให้ใช้สูตร integrateได้

∫(tanx)^4 dx = ∫(tanx)^2(tanx)^2

ข้อนี้ไม่ตรงกับ condition ใดเลยเลยต้องเปลี่ยน tan เพื่อให้ใช้สูตร integrate ได้

=∫(tanx)^2((secx)^2-1)dx

=∫(tanx)^2(secx)^2 - (tanx)^2 dx

ก้อนหน้าตรงกับ condition แรกเพราะกำลัง sec เป็นคู่ ก้อนหลังไม่ตรงต้องเปลี่ยนอีกรอบ

=∫(tanx)^2(secx)^2 - ((secx)^2-1) dx

sub u ให้ tanx เป็น u ข้างหลัง integrate

=∫u^2 du - ∫(secx)^2 -1 dx

=(u^3)/3 - tanx + x +C

=(tanx)^3/3 - tanx + x +C

อีกตัวอย่าง

∫tanx(secx)^1.5 dx

ข้อนี้ถึงแม้ว่าจะตรงกับ condition แรกแต่ไม่สามารถเปลี่ยนได้เพราะ tan เป็นกำลังหนึ่งเท่านั้น ถ้าดูให้ดีข้อนี้ง่ายมากแค่ sub u โดย u เป็น secx^0.5 ก็ได้ละ

คำตอบ 2/3(secx)^1.5 +C

หลักก็คือว่าเหมือน sub u ทั่วไปคือต้องดูให้ออกว่าเปลี่ยนตัวไหนแล้วเหลือตัวไหนไว้จะได้เป็น du ได้เปล่า

ถ้าดูออกสูตรก็ไม่ต้องจำแล้วว

Integrate series part 4: TRIGONOMETRIC INTEGRAL

จากบทที่สอน sub u ไปจะเห็นได้ว่าถ้าเราอยากหา ∫(sinx)^2 cosx dx เราก็ sub u ให้ sinx เป็น u ก็จะได้คำตอบออกมา

แต่ในกรณีที่ expression มันมีกำลังเยอะขึ้นเช่น ∫(sinx)^2 (cosx)^3 dx หรือ ∫(sin2x)^4(cos2x)^4 dx แค่ sub u ธรรมดาจะไม่ได้แล้วจึงมี guideline ในการ integrate trigonometric expression ให้

สูตรที่ควรรู้

(cosx)^2+(sinx)^2 = 1

(cosx)^2 = (1+cos(2x))/2

(sinx)^2 = (1-cos(2x))/2 -----2 สูตรหลังจำว่า cos เหมือนกันเลยเป็นบวก sin ไม่เหมือนเป็นลบ

วิธี

1. ดูว่าตัวไหนมีกำลังเป็นเลขคี่ให้เปลี่ยนเป็นอีกตัวโดยใช้สูตรแรกเช่น

∫(sinx)^2 (cosx)^3 dx ---- cos มีกำลังเลขคี่ดังนั้นเปลี่ยน

(cosx)^3 = (1-(sinx)^2) (cosx) ---เหลือไว้หนึ่งตัวเพื่อให้ sub u

= ∫(sinx)^2 (1-(sinx)^2) (cosx) dx

2. ทีนี้ก็สามารถ sub u ธรรมดาได้แล้ว

u = sinx, du = cosx dx

= ∫u^2(1-u^2)du

= u^3/3 - u^5/5 +C

1/3(sinx)^3 - 1/5(sinx)^5 +C

ในกรณีที่ทั้งคู่เป็นกำลังคู่ให้เปลี่ยนทั้งหมดโดยใช้ 2 สูตรล่างเช่น

∫(sin2x)^4(cos2x)^4 dx

= ∫((1-cos4x)/2)^2 ((1+cos4x)/2)^2 dx

= 1/16 ∫(1-cos4x)^2 (1+cos4x)^2 dx ---(a-b)(a+b) = a^2-b^2

= 1/16 ∫(1-(cos4x)^2)^2 dx --- กระจายออกมาได้

= 1/16 ∫1-2(cos4x)^2+(cos4x)^4 dx

= 1/16x + 1/16∫-2(cos4x)^2+(cos4x)^4 dx ---cos 2 ตัวที่ติดกำลังคู่อยู่ก็ต้องใช้สูตรเพื่อลดกำลังอีกครั้ง(และสองครั้งสำหรับกำลัง 4) จนได้ผลลัพธ์ในท้าย

ทำต่อจะได้คำตอบ = 1/16(3x/8-1/16(sin8x)+1/128(sin16x) +C

Integrate series part 3: BY PART

การ integrate by part เป็นวิธีที่ใช้เวลามี 2 expression มาคูณกัน ส่วนใหญ่ expression จะเป็นระหว่างประเภทต่อไปนี้

Logarithmic (ln, log)

Inverse Trigon (inverse ของ sin cos tan)

Algebraic(2x^2 เป็นต้น)

Trigonometric (sin cos tan)

Exponential (e^x, 4^2x)

วิธีนี้เป็นวิธีที่คนได้ยินแล้วถอนหายใจมากที่สุดเพราะ

1. มีสูตรที่ต้องจำ

2. ทำยาววว

3. ไม่รู้จะแทนตัวไหนในสูตร

เพราะงั้นถ้าแก้ทั้ง 3 ข้อนี้ได้ by part ก็ง่ายนิดเดียว

สูตร ∫u dv = uv - ∫v du

- ท่องครับ จำสูตรไม่ได้เท่ากับจบ

วิธีทำ

1. กำหนด u และ dv

ดูตาม list ข้างบนแล้วดูว่า

อันไหนมาก่อนให้เป็น u อันหลังเป็น dv

เช่น ∫x^2(e^2x) dx ในที่นี้ x^2 เป็น algebraic มาก่อน e^2x ซึ่งเป็น exponential

เพราะฉะนั้น x^2 เป็น u, e^2x dx เป็น dv

2. หา du และ v

du = diff(x^2) = 2x dx

v = ∫dv = ∫e^2x dx = 0.5e^2x

3. แทนทั้ง 3 ตัวลงในสูตร

(x^2)(0.5e^2x) - ∫(0.5e^2x)2x dx

ในที่นี้ integral ข้างหลังยังต้องทำ by part อีก

รอบเพราะ integrate แบบธรรมดาไม่ได้

**คำตอบสุดท้ายอย่าลืม + C

อีกหนึ่งตัวอย่าง

∫ln(x^2) dx

∫u dv = uv - ∫v du

1. u = ln(x^2) ***ln(x^2) ถือเป็นหนึ่ง expressionนะ !

dv = dx

2. du = diff(ln(x^2)) = 2x/(x^2) = 2/x dx***chain rule ลืมรึยัง

v = ∫ dx = x

3.ln(x^2)x - ∫ x(2/x) dx

= xln(x^2) - 2x +C

สูตรลัด!!

ใช้ได้กับเฉพาะกรณีที่ต้องทำ by part หลายๆรอบเช่น ข้อแรก

ตัวอย่าง ∫(x^3+2x)e^2x dx

1. วาดตารางขึ้นมา

ให้ u อยู่ฝั่งซ้าย diff แล้วเขียนบรรทัดล่างลงมาเรื่อยๆจนเป็น 0 *** ถ้าไม่เป็น 0 แสดงว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้

ให้ dv อยู่ฝั่งขวา integrate เรื่อยจนถึงบรรทัดที่ข้างซ้ายเป็น 0

2. วาดลูกศรเหมือนรูปข้างล่าง

3. ลูกศรแต่ละอันให้เขียนกำกับบวกลบสลับกัน

4. หัวกับท้ายลูกศร เอามาคูณกัน เครื่องหมายบนลูกศรคือ เครื่องหมายที่ใช้ทำกับตัวต่อไป

แค่นี้ integrate by part ก็ไม่ยากอีกต่อไป !!!

Integrate series part 2: SUB U

ทำไมต้อง sub u ? sub u มีไว้เพื่อเวลา expression ที่จะ integrate ไม่ตรงกับสูตร basic เช่น

sin(2x) , sqrt(x+5) , (ln x)/x เป็นต้น

sub u ทำยังไง

1. ∫2xsin(x^2) dx

-ให้ u = x^2

-du (diff u)= 2x dx (diff x^2)

-dx=du/2x

2. แทน x และ dx ด้วย u และ du ได้ ∫2xsin(u) (du/2x) = ∫sin(u) du

3. integrate ธรรมดาตามสูตรจะได้ -cos(u)+C

4. แทน u กลับด้วย x ได้ -cos(x^2)+C

sub ตัวไหนเป็น u ?

1. หาตัวที่ dif ออกมาแล้วอยู่ในสูตรเช่น

sqrt(x+5) dx

(1/x)ln(x) dx

cos(x)sin(x) dx

x(x^2-1)^3 dx

สังเกตว่าถ้า diff ตัวสีแดงจะได้ตัวสีฟ้าและถ้าแทนแดงด้วย u ฟ้าจะเป็น du หมด

2. ในกรณีที่ diff ออกมาแล้วไม่ตรงเช่น x(x^2-1)^3 dx เพราะ dif (x^2-1) ได้ 2x ไม่ใช่ x

เราสามารถคูณทำงี้ได้

0.5∫2x(x^2-1)^3 dx

คือคูณเลขที่ต้องการเข้าไปแล้วหารออกข้างหน้าเครื่องหมาย ∫

3. อย่าลืม! ว่า dif บางทีต้องใช้ chain rule ด้วยเช่น

∫cos(2x)sin(2x) dx

dif sin(2x) ได้ 2cos(2x) เพราะงั้นต้องทำตาม ข้อ 2 ด้วย

u=sin(2x)

du = 2cos(2x) dx

0.5∫u du

0.25u^2 = 0.25(sin2x)^2 +C

*** สูตรลัด

สังเกตได้ว่าหากในวงเล็บของ sin cos และ polynomial function เช่น (..x+...)^(..) เป็น x กำลังหนึ่งเช่น

sin(0.25x), cos(3x), (2x+1)^0.5 สามารถ integrate เหมือนธรรมดาแล้วหารผลลัพด้วยเลข coefficient ของ x

∫sin(0.25x) dx ได้ -1/0.25 (cos(0.25x))+C

∫cos(3x) dx ได้ 1/3 (sin(3x))+C

∫(2x+1)^0.5 dx ได้ 1/2 (2/3)(2x+1)^(3/2) +C

∫e^(4x) dx ได้ 1/4 e^(4x) +C

ย้ำว่า x เป็นกำลังหนึ่งถึงทำวิธีนี้ได้เท่านั้น

ถูกชัว รับประกันความถูกโดย พี่แชมป์ A Calculus1 555+

Integrate series part 1

การ integrate นั้นมีเปน 10 วิธี เลือกใช้ให้ถูกวิธีก็จะได้คำตอบอย่างง่ายดาย

การ integrate ประกอบด้วย

เครื่องหมาย ∫ - บอกถึงการ integrate

expression ข้างใน และ - integrate อะไร

dx - integrate ตัวแปรอะไร เช่น dx ก้ตัวแปร x, dy ก้ตัวแปร y

การ integrate โดยไม่มีขอบเขต(ไม่มีเลขอยู่บนและล่างของเครื่องหมาย∫ )จะต้องมี +C ในคำตอบเสมอ ค่า C คือค่าคงที่อะไรก็ได้

โดย basic แล้วต่อไปนี้คือ สูตรเบื้องต้น

1. ∫ เลขค่าคงที่ เช่น ∫ 3 dx = 3x+C ∫ dy = y+C

2. ∫ โดยมีตัวแประ เช่น ∫ x^2 dx = (x^2+1)/3 = (1/3)x^3 +C

ให้บวกตัวยกกำลังด้วย 1 แล้วนำคำตอบมาหารข้างหน้า

∫x^0.5 dx = (x^0.5+1)/1.5 = (1/1.5)x^1.5 +C

เลขยกกำลังสามารถเป็นลบได้ด้วย (ยกเว้นเลข -1)

3. ∫ sin x dx = -cos x+C

4. ∫ cos x dx = sin x +C

5. ∫ sec^2(x) dx = tan x +C

6. ∫ sec(x)tan(x) dx = sec x +C

7. ∫ 1/x dx = ln x +C ***1/x = x^(-1)

8. ∫ e^x dx = e^x +C

สังเกตว่าถ้า diff คำตอบกลับจะได้โจทย์เริ่มต้น

8 ข้อข้างบนเป็นสูตรพื้นฐานที่จะต้องนำไปใช้ต่อ

***ถ้าโจทย์ไม่ตรงกับสูตรก็จะใช้ไม่ได้เช่น ∫ sin(2x) dx หรือ ∫ (x^2)sin(x) dx แทนที่จะเป็น ∫ sin x dx ก็ต้องใช้หลัก advance อื่นซึ่งจะสอนในบทต่อไป

***แต่ถ้าเป็น expression ที่มาบวกกันเช่น ∫ sin x + x^2 + 1/x dx ก้สามารถ integrate แยกกันแล้วมาบวกได้ตามปกติ

∫ sin x + x^2 + 1/x dx

= -cos x +(1/3)x^3 + ln x +C